పదార్థాల పరిచయం: ప్రకృతి మరియు లక్షణాలు (భాగం 1: పదార్థాల నిర్మాణం)

ప్రొఫెసర్ ఆశిష్ గార్గ్

డిపార్ట్ మెంట్ ఆఫ్ మెటీరియల్స్ సైన్స్ అండ్ ఇంజినీరింగ్

ఇండియన్ ఇన్ స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీ, కాన్పూర్

ఉపన్యాసం – 10

మిల్లర్ సూచీలు (విమానాలు మరియు దిశలు)

ఈ ఉపన్యాసంలో, మేము మిల్లెర్ సూచీలు, విమానాలు మరియు దిశల గురించి చర్చిస్తాం. మేము చూసిన మునుపటి ఉపన్యాసాలలో, స్ఫటికశాస్త్రం, జాలకశాస్త్రం, స్ఫటిక వ్యవస్థలు, బ్రవైస్ జాలకం మరియు సౌష్టవం మరియు వాటి పరస్పర సంబంధం యొక్క ప్రాథమికాంశాలను మేము అర్థం చేసుకున్నాము. ఇప్పుడు, మనం దిశలు మరియు వివిధ దశల పరంగా స్ఫటికాలను ఎలా లెక్కించవచ్చో అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము ఎందుకంటే స్ఫటికాలలో వివిధ లక్షణాల యొక్క అనిసోట్రోపీ, దిశాత్మక ప్రతిస్పందన యొక్క పరస్పర సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది. కాబట్టి, మీరు ఒక దిశలో కొన్ని లక్షణాలను కొలిస్తే, అది ఇతర దిశల కంటే భిన్నంగా ఉంటుంది, మరియు ఇది యాంత్రిక లక్షణాలు, విద్యుత్ లక్షణాలు, ఉష్ణ లక్షణాలు మరియు ఇతర అయస్కాంత లక్షణాల గురించి నిజం.

కాబట్టి, లక్షణాలతో దిశలతో సంబంధం కలిగి ఉండటానికి, స్ఫటికం యొక్క దిశలు మరియు విమానాలను లెక్కించడానికి మీరు ఒక పద్ధతిని కలిగి ఉండాలి, మరియు మిల్లర్ సూచీల యొక్క ఈ భావన చిత్రంలోకి వస్తుంది.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 01:32)

నేను ఇక్కడ ఒక సాధారణ సమాంతర పైప్డ్ గీస్తాను. కాబట్టి, ఈ పరమాణువుల మధ్య వేర్పాటు లేదా పచార్లు మరొకటి అని మీరు చూడవచ్చు, ఇది వేరు 2 ద్వారా చెప్పనివ్వండి. అందువల్ల, విభిన్న పరమాణువులు ఒకదానికొకటి సంబంధించి విభిన్న స్పేసింగ్ లను కలిగి ఉంటాయి. లక్షణాలు కూడా విభిన్న దిశల్లో మారతాయి. కాబట్టి, నేను ఈ దిశలో కొంత ప్రతిస్పందనను కొలిస్తే, అది మరొక దిశలో కొలవబడిన ప్రతిస్పందనకు భిన్నంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, అందుకే ఈ దిశ ఏమిటో మనం అర్థం చేసుకోవాలి. అదేవిధంగా, స్ఫటికం యొక్క విభిన్న ముఖాలు విభిన్న పరమాణు సాంద్రతను కలిగి ఉన్నాయని మీరు చూడవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఈ ముఖం కొన్ని దూరాల్లో ఈ నాలుగు పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది, నేను ఈ ముఖాన్ని తయారు చేస్తే, ఇది వేరే సాంద్రతను కలిగి ఉంటుంది, ఇది మళ్ళీ ఒకే సంఖ్యలో పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది, కానీ ఇది విభిన్న సాంద్రతను కలిగి ఉంటుంది. మీరు ఎఫ్ సిసి మరియు బిసిసి నిర్మాణాలకు వెళ్లినప్పుడు ఇది మారుతుంది. ఉదాహరణకు, ఈ ముఖం వేరే సాంద్రతను కలిగి ఉంటుంది. ఫలితంగా, వాటి మధ్య పరమాణువుల యొక్క విభిన్న స్పేసింగ్ ఉంటుంది, మరియు ఈ దిశల్లో విభిన్నంగా ప్యాక్ చేయబడతాయి కనుక, వాటికి విభిన్న ప్రతిస్పందన ఉంటుంది. కాబట్టి, అందుకే ఈ విషయాలను లెక్కించడానికి ఒక వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం అవసరం.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 04:11)

మిల్లర్ సూచీలు ఈ పదాన్ని రూపొందించే విలియం హాలోవ్స్ మిల్లెర్ అనే వ్యక్తి పేరిట ఉన్నాయి, అందుకే వీటిని మిల్లర్ సూచీలు అని పిలుస్తారు. స్ఫటికాకార విమానాలు స్ఫటికాల యొక్క ముఖాలను తప్ప మరేమీ కాదు, స్ఫటికాల యొక్క కోణాలను మీరు చెప్పవచ్చు, కాబట్టి, ఇది వాటిని ఒక తలానికి (హెచ్ కె ఎల్) అని నిర్వచించినట్లు గుర్తించడం. అయితే, ఇది కేవలం క్యూబిక్ అయినా లేదా టెట్రాగోనల్ అయినా ఒక స్ఫటిక నిర్మాణంపై ఆధారపడిన ఒకే విధమైన విమానాల సమితి కోసం కావచ్చు. కాబట్టి, టెట్రాగోనల్ కు మీరు అదే అర్థాన్ని రాయలేకపోవచ్చు.

రెండవ విషయం స్ఫటికంలో వివిధ పరమాణు దిశలలో స్ఫటికాకార దిశలు, మరియు ఇవి [యు వి డబ్ల్యు]గా చిత్రీకరించబడ్డాయి, మరియు <యు వి డబ్ల్యు> దిశల సమితిని సూచిస్తుంది. మళ్లీ విమానాల మాదిరిగానే, ఇది స్ఫటిక నిర్మాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, మరియు ఇక్కడ హెచ్, కె, ఎల్ మరియు మీరు, వి, డబ్ల్యు పూర్ణాంకాలు, మరియు అవి సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 07:28)

ఎక్స్-యాక్సిస్ మీద విమానం యొక్క ఇంటర్ సెప్ట్ మీద హెచ్/ఎ ఇంటర్ సెప్ట్ చేయబడినప్పుడు, హెచ్/బి వై-యాక్సిస్ మీద ఇంటర్ సెప్ట్ చేయబడుతుంది, ఎల్/సి జడ్-యాక్సిస్ మీద ఇంటర్ సెప్ట్ చేయబడుతుంది. మరియు a, బి, సి అనేవి జాలక పరామితుల యొక్క యూనిట్ సెల్ పొడవులు. మరియు హెచ్, కె, ఎల్ మిల్లర్ సూచీలు.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 09:03)

నా దగ్గర ఇలాంటి సమాంతర చతుర్భుజం ఉంది. ఇదే మూలం అని అనుకుందాం. దీనిని A, 2A, 3A, మొదలైన వాటిలో కొన్ని గుణిజాల్లో నిర్వచిస్తున్నాను. కాబట్టి, ఇది 4ఎ, 6ఎ, మరియు ఈ 2ఎ. కాబట్టి, నాకు అలాంటి శరీరం ఉంది, మరియు నేను వీటిని కనెక్ట్ చేస్తే, ఇది నా విమానం. కాబట్టి, నా యూనిట్ సెల్ పరామితులు అలా ఉన్నాయని నేను చూడగలను, a 4Aకు సమానం, బి 8Aకు సమానం, మరియు సి 3ఎకు సమానం. భిన్న అంతరాయాలు అంటే ఏమిటి?

కాబట్టి, ఎక్స్ వెంబడి భిన్న అంతరాయము 2A దీని ద్వారా 2A, ఇది 6A ను 8A తో భాగిస్తుంది, మరియు జవెంబడి, ఇది 3A తో విభజించబడింది. కాబట్టి, ఇది 1 ఓవర్ 2, ఇది 3 ఓవర్ 4, మరియు ఇది 1. కాబట్టి, ఇప్పుడు, మీరు దీనిని పరస్పరం గా మార్చాలి. విమాన సూచీలు( హెచ్ కె ఎల్) పూర్ణాంకాలుగా ఉండాలి. కాబట్టి, మీరు దీనిని అతి చిన్న పూర్ణాంకాల సమితిగా మార్చాలి. కాబట్టి, మీరు దీనిని అతి చిన్న పూర్ణాంకాల సెట్ లో మార్చినట్లయితే, మీకు ఏమి లభిస్తుంది? మీరు 6, 4, మరియు 3 పొందుతారు. కాబట్టి, ఈ విమానం (6 4 3). ఆ విధంగా మీరు ఇవ్వబడ్డ విమానం యొక్క మిల్లెర్ సూచీలను నిర్ణయిస్తారు. అదేవిధంగా, ఈ విమానం గురించి మనం చెప్పుకుందాం.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 14:05)

యూనిట్ సెల్ యొక్క ఒక విమానాన్ని నిర్ణయించే ప్రక్రియలో మూలాన్ని నిర్వచించడం, ఇంటర్ సెప్ట్ లను నిర్ధారించడం, పరస్పరచర్యతీసుకోవడం మరియు తరువాత అతి చిన్న పూర్ణాంకాల సమితికి మార్చడం ఉంటాయి. పూర్ణాంకాల యొక్క అతి చిన్న సెట్ ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు (0 1 0) మరియు (0 2 0) సమాంతర విమానాలు గా చూస్తే, ఒకటి యూనిట్ సెల్ యొక్క సగం స్పేసింగ్ వద్ద ఉంటుంది; మరొకటి యూనిట్ సెల్ యొక్క పూర్తి స్పేసింగ్ వద్ద ఉంది. కాబట్టి, హెచ్ కె ఎల్ మరియు 2గం, 2కె, 2ఎల్, మరియు 3గం, 3గం, 3కె, 3ఎల్ ఒకే విమానాల సెట్, మరియు అవి ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి, వాటి మధ్య స్పేసింగ్ భిన్నంగా ఉంటుంది.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 15:45)

నేను (1 2 3) గీయమని మిమ్మల్ని కోరుతున్నాను, నేను యూనిట్ సెల్ గీశాను, మరియు మూలం యొక్క ఎంపిక చాలా ముఖ్యమైనది. కాబట్టి, ఒకవేళ మీకు (1 2 3) ఉన్నట్లయితే, మీరు మూలాన్ని ఎలా ఎంచుకుంటారు? మీకు ఎలాంటి నెగిటివ్ లేనప్పుడు, సాధారణంగా నిర్ధారించబడ్డ సానుకూల ఎక్స్-డైరెక్షన్ లో హెచ్ ఇంటర్ సెప్ట్ ఉందని మీరు చూడవచ్చు. కాబట్టి, ఒకవేళ మీకు (హెచ్ కె ఎల్) నెగిటివ్ గుర్తు ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు అది ఉంటుంది. ). కాబట్టి, దాని అర్థం ఏమిటంటే, మీకు 1 ఉంటే, అప్పుడు మీరు మీ ఇంటర్ సెప్ట్ ను పాజిటివ్ ఎక్స్-డైరెక్షన్ వెంబడి కదిలిస్తారు, 2 అంటే సగం ఇంటర్ సెప్ట్ పాజిటివ్ వై-డైరెక్షన్ వెంబడి ఉంది, మరియు 3 అంటే పాజిటివ్ జెడ్-డైరెక్షన్ వెంబడి ఇంటర్ సెప్ట్ లో మూడింట ఒక వంతు.

కాబట్టి, మొత్తం 3 దిశలను సంతృప్తి పరచే మూలం ఈ మూలం. కాబట్టి, నేను దీనిని మూలం గా ఎంచుకుంటే, అప్పుడు ఎక్స్-అక్షం వెంబడి నా ఇంటర్ సెప్ట్ 1. కాబట్టి 1, 2, 3 ఉండాలి కాబట్టి మీరు 1, 2, 3 1, 1/2 మరియు 1/3 అని పరస్పర ాన్ని తీసుకోండి. కాబట్టి, ఇవి పరస్పరాలు మరియు తరువాత వాటిని యూనిట్ సెల్ లో ఇంటర్ సెప్ట్ గా ఉంచండి.

ప్రతి వరుస (2 4 6) విమానం ప్రతి వరుస (1 2 3) విమానంతో పోలిస్తే దగ్గరగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ఇది విమానాలు లేదా విమానాల సెట్ యొక్క కుటుంబం తప్ప మరొకటి కాదు, ఇవి ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 19:48)

ఇప్పుడు, నేను ప్రతికూల ఆసక్తి సూచీలు ఉన్న విమానాన్ని గీయాలనుకుంటున్నాను. కాబట్టి, నేను ఒక యూనిట్ సెల్ గీస్తాను, నేను గీయాలనుకుంటున్నాను అని అనుకుందాం . కాబట్టి నేను నా మూలాన్ని ఇక్కడకు మారుస్తాను, నేను పాజిటివ్ ఎక్స్ లో వెళ్ళగలను, మరియు నేను ఆ దిశలో వెళ్తే, నేను నెగిటివ్ వైలో వెళ్తాను, మరియు యూనిట్ సెల్ లో ఉండటం ముఖ్యం. కాబట్టి, నేను అలా చేస్తే, ఇది ఎక్స్ పై ఇంటర్ సెప్ట్, ఇది మైనస్ వైపై ఇంటర్ సెప్ట్, మరియు జెడ్ లో ఎలాంటి ఇంటర్ సెప్ట్ లేదు, అంటే ఇది జడ్ కు సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఇది అనంతం. కాబట్టి, విమానం ఇలా ఉంటుంది మరియు అలా, ఇది ఉంటుంది . కాబట్టి, మీరు ఇప్పుడు ఇంట్లో వ్యాయామం చేయవచ్చు. కాబట్టి, నేను ఇప్పుడు ఈ కేసులో చివరి వ్యాయామం చేస్తాను.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 22:00)

నేను ఒక యూనిట్ సెల్ ను కేవలం ఒక చివరి ప్రదర్శనను గీస్తాను మరియు ఎలా కనుగొనాలో మీకు సహాయపడటానికి, ఇప్పుడు నేను యాదృచ్ఛిక విమానాన్ని గీస్తాను, నేను ఒకదాన్ని ఎంచుకోనివ్వండి. కాబట్టి, నేను ఈ పాయింట్ ను కనెక్ట్ చేసి, ఈ పాయింట్ మరియు ఈ పాయింట్ చట్టబద్ధమైన విమానం, ఎక్స్ వెంబడి ఇంటర్ సెప్ట్, వై వెంబడి ఇంటర్ సెప్ట్ మరియు జడ్ వెంబడి ఇంటర్ సెప్ట్ చేయండి.

కాబట్టి, మీరు ఇప్పుడు మూలాన్ని ఎలా ఎంచుకుంటారు? కాబట్టి, ఇక్కడ ట్రిక్ మనం అలా అనుకుందాం, ఇది సగం సరైనది, ఇది సగం. కాబట్టి, మీరు దీనిని ఎంచుకుంటే, ఈ పాయింట్ ఇక్కడ నుండి మైనస్ హాఫ్ ఎక్స్ లో సగం వద్ద ఉంది, ఇది -1/2 వెంబడి ఎక్స్, -1/2 వెంబడి ఉంటుంది, మరియు ఇది 1/2 వెంబడి ఉంటుంది. ఒకవేళ మీరు పరస్పరం తీసుకున్నట్లయితే, ఇది -2, -2, 2, లేదా ఇది తప్ప మరేమీ కాదు .

కాబట్టి, 1, బార్ 1, 1 విమానం అంటే ఏమిటి? ప్రాథమికంగా 1 బార్ 1 విమానం ఇది మరియు నేను వీటిని కలిపి ఉంటే, సమాంతర విమానం తప్ప మరేమీ కాదు, కానీ మీరు ఈ ఎరుపు దాన్ని నిర్ధారించాల్సి వస్తే, ఈ 1 చట్టబద్ధమైన విమానం, అలాగే మీరు ఇక్కడ పరమాణువు ను కలిగి ఉండవచ్చు. కాబట్టి, దీన్ని చేయడానికి ఒక మార్గం ఏమిటంటే, మీరు ఈ పద్ధతిలో చేస్తారు, లేదా సమాంతర విమానాన్ని గీయడం ద్వారా ఇది చేయడానికి మరొక మార్గం కావచ్చు, తద్వారా మీరు మూలలలో ఒకదానిపై ఉన్న మూలను ఎంచుకోవచ్చు, అంటే మీరు సమాంతర విమానాలను మరొక సమాంతర తలాన్ని గీయాలి. కాబట్టి, ఈ పద్ధతిలో ముగించడానికి బదులుగా, ఇది ఇక్కడ ముగుస్తుంది. కాబట్టి, ఇది వ్యవస్థ నుండి బయటకు వెళుతుంది.

కాబట్టి, ఇది విమానాలను నిర్ధారించడానికి మీరు చేసే పని మరియు విమానాల మధ్య స్పేసింగ్ గురించి తెలుసుకోవాలి.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 26:00)

విమానాల మధ్య క్యూబిక్ సిస్టమ్ స్పేసింగ్ కొరకు, డి_{హ్క్ల్},

ఎక్కడ ఒక అనేది జాలక పరామీటర్, మరియు హెచ్, కె, ఎల్ అనేవి మిల్లర్ సూచీలు. కాబట్టి, ఈ విమానాల మధ్య స్పేసింగ్ అంటే ఏమిటి లేదా మీరు దీనిని కలిగి ఉండవచ్చు 1 0 0 విమానం మరియు 0 1 0 విమానం, ఈ రెండింటి మధ్య స్పేసింగ్ ఒక.

కాబట్టి, మీరు విమానం స్పేసింగ్ ను ఎలా నిర్ధారించగలరు, మరియు విభిన్న విమానాలు వేర్వేరు కోణాల్లో ఉన్నాయని కూడా మీరు కనుగొనవచ్చు.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 27:50)

ఒకవేళ నేను రెండింటి మధ్య కోణం మధ్య లెక్కించాలనుకుంటే, కోణం cosθ ఇవ్వబడుతుంది,

దీనిని ఇంటర్ ప్లానర్ యాంగిల్ అని అంటారు. ఇవి క్యూబిక్ సిస్టమ్ ల కొరకు మాత్రమే. ద్వారా, టెట్రాగోనల్ మరియు ఆర్థోర్హోమ్బిక్ వ్యవస్థలకు, సంబంధాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. తదుపరి ఉపన్యాసంలో, మేము ఇప్పుడు దిశల కోసం మిల్లెర్ సూచీల గురించి చర్చిస్తాము.

ధన్యవాదాలు.